一元二次方程

按小节学习定义、公式和解题方法。每个小节配 5 道不同类型题，综合复习区另有 20 道题。题目和答案均按需展开，适合平板、手机和电脑阅读。

17.1 一元二次方程

认识定义、标准形式、各项名称、根与解，以及方程的基本变形。

知识点与公式

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
标准形式：解题前通常先去括号、移项、合并同类项，把方程整理为 ax² + bx + c = 0。注意二次项系数 a 不能等于 0。
各项名称：ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。缺少某一项时，该项系数可看作 0。
方程的根：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根，也叫方程的解。判断一个数是不是根，要代入原方程检验。
解方程的基本原则：在方程两边同时加、减、乘以同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，所得方程与原方程同解。
降次思想：把二次问题转化为一次问题，后续可用直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法求解。

题目 1

下列方程中，哪些是一元二次方程？① 3x² - 2x + 1 = 0；② x³ - x = 0；③ 2x + 5 = 0；④ (x - 1)(x + 2) = 6。

答案

①和④是一元二次方程。④整理为 x² + x - 8 = 0；②最高次数是 3，③最高次数是 1。

题目 2

将方程 3x(x - 2) = 5 整理成一元二次方程的标准形式，并写出各项系数。

答案

展开得 3x² - 6x = 5，移项得 3x² - 6x - 5 = 0。因此 a = 3，b = -6，c = -5。

题目 3

判断 x = 2 是否是方程 x² - 5x + 6 = 0 的根。

答案

代入得 2² - 5×2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0，所以 x = 2 是方程的一个根。

题目 4

解方程 x² - 9 = 0。

答案

x² = 9，所以 x = 3 或 x = -3。

题目 5

已知 x = -1 是方程 x² + mx - 2 = 0 的一个根，求 m 的值。

答案

把 x = -1 代入：1 - m - 2 = 0，得 -m - 1 = 0，所以 m = -1。

17.2.1 配方法

通过配成完全平方，利用直接开平方法解一元二次方程。

知识点与公式

完全平方公式：(x + p)² = x² + 2px + p²；(x - p)² = x² - 2px + p²。配方的目标是把方程变成 (x + p)² = q。
配方规律：x² + bx = (x + b/2)² - (b/2)²；若二次项系数不是 1，要先把方程两边同时除以二次项系数。
基本步骤：移常数项；二次项系数化为 1；在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；左边配成完全平方；直接开平方求解。
直接开平方法：若 (x + p)² = q，当 q > 0 时 x + p = ±√q；当 q = 0 时只有一个解；当 q < 0 时在实数范围内无解。
配方法既能求方程的根，也能说明一个二次式的最小值或判断方程根的情况，是公式法的重要基础。

题目 1

用配方法解方程 x² + 6x + 5 = 0。

答案

移项得 x² + 6x = -5。两边加 9：x² + 6x + 9 = 4，即 (x + 3)² = 4。开平方得 x + 3 = ±2，所以 x = -1 或 x = -5。

题目 2

用配方法解方程 x² - 8x + 3 = 0。

答案

移项得 x² - 8x = -3。两边加 16：(x - 4)² = 13。开平方得 x - 4 = ±√13，所以 x = 4 ± √13。

题目 3

用配方法解方程 2x² + 4x - 3 = 0。

答案

两边除以 2，得 x² + 2x = 3/2。两边加 1：(x + 1)² = 5/2，所以 x = -1 ± √10/2。

题目 4

若 x² + 10x + k 可以配成 (x + 5)²，求 k。

答案

x² + 10x + k = (x + 5)² = x² + 10x + 25，所以 k = 25。

题目 5

求二次式 x² - 12x + 20 的最小值，并说明取得最小值时 x 的值。

答案

x² - 12x + 20 = (x - 6)² - 16。因为 (x - 6)² ≥ 0，所以最小值是 -16，当 x = 6 时取得。

17.2.2 公式法

利用求根公式直接求解一般形式的一元二次方程。

知识点与公式

对一般方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
使用公式前必须先化为标准形式，准确找出 a、b、c，尤其注意 b、c 的正负号以及分母 2a。
基本步骤：整理标准形式；写出 a、b、c；代入公式；化简；检验或根据题意取舍答案。
公式法适用于不能轻易因式分解的一元二次方程；判别式 b² - 4ac 同时决定实数根的个数。
根的个数：Δ > 0 有两个不相等的实数根；Δ = 0 有两个相等的实数根；Δ < 0 没有实数根。

题目 1

用公式法解方程 x² - 5x + 6 = 0。

答案

a = 1，b = -5，c = 6。x = [5 ± √(25 - 24)]/2 = (5 ± 1)/2，所以 x = 2 或 x = 3。

题目 2

用公式法解方程 3x² - 2x - 1 = 0。

答案

a = 3，b = -2，c = -1。x = [2 ± √(4 + 12)]/6 = (2 ± 4)/6，所以 x = 1 或 x = -1/3。

题目 3

用公式法判断方程 2x² + 4x + 5 = 0 在实数范围内是否有解。

答案

Δ = 4² - 4×2×5 = -24 < 0，所以方程在实数范围内无解。

题目 4

用公式法解方程 x² - 2mx + (m² - 4) = 0，其中 m 为常数。

答案

Δ = 4m² - 4(m² - 4) = 16，x = [2m ± 4]/2，所以 x = m + 2 或 x = m - 2。

题目 5

用公式法解方程 0.5x² - 1.5x - 1 = 0。

答案

两边乘 2 得 x² - 3x - 2 = 0。x = [3 ± √(9 + 8)]/2 = (3 ± √17)/2。

17.2.3 因式分解法

利用积为零的性质，把二次方程转化为两个一次方程。

知识点与公式

若 AB = 0，则 A = 0 或 B = 0，这叫做积为零的性质，是因式分解法的依据。
使用前先把方程化为标准形式，并把右边化为 0；再把左边分解成两个一次因式的积。
常用公式：a² - b² = (a + b)(a - b)；a² ± 2ab + b² = (a ± b)²；还可使用十字相乘法和提公因式法。
基本步骤：移项得积为 0；因式分解；分别令每个因式等于 0；求出方程的根；检验。
因式分解法计算简洁，但并非每个方程都容易因式分解；无法分解时可改用公式法或配方法。

题目 1

用因式分解法解方程 x² - 7x + 12 = 0。

答案

因式分解得 (x - 3)(x - 4) = 0，所以 x = 3 或 x = 4。

题目 2

用因式分解法解方程 6x² - x - 2 = 0。

答案

6x² - x - 2 = (3x + 2)(2x - 1)，所以 x = -2/3 或 x = 1/2。

题目 3

解方程 (x - 2)² = 3(x - 2)。

答案

移项得 (x - 2)(x - 5) = 0，所以 x = 2 或 x = 5。

题目 4

用平方差公式解方程 9x² - 25 = 0。

答案

(3x - 5)(3x + 5) = 0，所以 x = 5/3 或 x = -5/3。

题目 5

已知方程 (x + 4)(x - 3) = 0 的两个根为 α、β，求 α + β 和 αβ。

答案

根为 -4、3，所以 α + β = -1，αβ = -12。

17.3 一元二次方程根的判别式

用判别式判断根的个数和根的类型，并解决含参数的判定问题。

知识点与公式

判别式定义：对于 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），Δ = b² - 4ac，读作“根的判别式”。
根的判定：Δ > 0，有两个不相等的实数根；Δ = 0，有两个相等的实数根；Δ < 0，没有实数根。
判别式只判断实数根的个数，不能单独判断根的正负；判断正负还要结合根与系数的关系或代入分析。
含参数方程先写出 Δ 关于参数的表达式，再根据 Δ > 0、Δ = 0 或 Δ < 0 列不等式或方程。
判别式还可用于证明方程无实根、求参数范围、判断二次函数图像与 x 轴的交点个数。

题目 1

求方程 x² - 4x + 1 = 0 的判别式，并判断它有几个实数根。

答案

Δ = (-4)² - 4×1×1 = 12 > 0，所以有两个不相等的实数根。

题目 2

判断方程 x² + 2x + 5 = 0 是否有实数根。

答案

Δ = 2² - 4×1×5 = -16 < 0，所以没有实数根。

题目 3

求 k 的取值范围，使方程 x² - 2x + k = 0 有两个不相等的实数根。

答案

Δ = 4 - 4k。要有两个不相等的实数根，需 Δ > 0，即 k < 1。

题目 4

求 m 的值，使方程 x² + (m - 2)x + m = 0 有两个相等的实数根。

答案

令 Δ = (m - 2)² - 4m = 0，得 m² - 8m + 4 = 0，所以 m = 4 ± 2√3。

题目 5

判断方程 2x² - 3x + 1 = 0 的根的情况，并说明两个根是否都为正数。

答案

Δ = 1 > 0，有两个不相等实根。根的和为 3/2 > 0、积为 1/2 > 0，两个根同号且和为正，因此两个根都为正数。

17.4 一元二次方程的根与系数的关系

掌握韦达定理，利用两根之和与两根之积求值、构造方程和求参数。

知识点与公式

根与系数的关系：若 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ = c/a。
使用条件：必须明确方程有两个根，且根可以相同；若讨论实数根，通常还要结合 Δ ≥ 0。
常用变形：x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂；(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂。
构造方程：若两个根为 α、β，则以它们为根的一元二次方程可写为 x² - (α + β)x + αβ = 0。
判断根的正负：根的积为负，说明两根异号；积为正时再结合根的和判断同为正或同为负。

题目 1

方程 2x² - 5x + 3 = 0 的两个根为 x₁、x₂，求 x₁ + x₂ 和 x₁x₂。

答案

x₁ + x₂ = 5/2，x₁x₂ = 3/2。

题目 2

已知一元二次方程的两个根是 3 和 -2，写出一个以它们为根的方程。

答案

根的和为 1，积为 -6，所以方程为 x² - x - 6 = 0。

题目 3

方程 x² - 4x + 1 = 0 的两个根为 α、β，求 α² + β²。

答案

α + β = 4，αβ = 1，所以 α² + β² = 4² - 2×1 = 14。

题目 4

方程 x² - 6x + 2 = 0 的两个根为 α、β，求 1/α + 1/β。

答案

1/α + 1/β = (α + β)/(αβ) = 6/2 = 3。

题目 5

若方程 x² - (m + 1)x + m = 0 的一个根为 2，求 m 及另一个根。

答案

代入得 4 - 2(m + 1) + m = 0，得 m = 2。两根之积为 2，所以另一个根为 1。

17.5 一元二次方程的应用

建立面积、数字、增长率、行程等实际问题的方程模型，并根据实际意义取舍根。

知识点与公式

建模流程：审题设未知数；找等量关系；列一元二次方程；解方程；检验根；根据实际意义写答。
几何问题：常用面积、周长、体积等等量关系。长度、宽度、人数等实际量通常要求为正数。
数字问题：两位数可表示为 10x + y；连续整数可表示为 x、x + 1；连续偶数或奇数可表示为 x、x + 2。
增长率问题：若原量为 a，平均增长率为 x，增长 n 次后的量为 a(1 + x)ⁿ；降低率则用 a(1 - x)ⁿ。
行程问题：路程 = 速度 × 时间；相遇、追及、顺逆流等问题要统一单位，化简后可能得到一元二次方程。
解出的根必须回到题目中检验，负长度、负人数、使分母为 0 的根，以及不符合范围的根都要舍去。

题目 1

一个长方形花坛的长比宽多 3 米，面积是 40 平方米。求花坛的长和宽。

答案

设宽为 x 米，则 x(x + 3) = 40，得 (x + 8)(x - 5) = 0。舍去负根，宽为 5 米，长为 8 米。

题目 2

两个连续正整数的积是 72，求这两个数。

答案

设较小的数为 x，则 x(x + 1) = 72，得 (x + 9)(x - 8) = 0。取正数 x = 8，所以两个数是 8 和 9。

题目 3

篮球联赛采用单循环赛制，每两支球队比赛一次，共进行了 15 场。求参赛球队有多少支。

答案

设参赛球队有 x 支，则 x(x - 1)/2 = 15，得 x² - x - 30 = 0，即 (x - 6)(x + 5) = 0。舍去负根，参赛球队有 6 支。

题目 4

一块直角三角形地的两条直角边相差 7 米，面积是 60 平方米。求两条直角边的长。

答案

设较短直角边为 x 米，则 x(x + 7)/2 = 60，得 (x + 15)(x - 8) = 0。取 x = 8，两边为 8 米和 15 米。

题目 5

一艘船顺流航行 30 千米，逆流航行 30 千米，共用 8 小时。水流速度为 2 千米/时，求船在静水中的速度。

答案

设静水速度为 x 且 x > 2。30/(x + 2) + 30/(x - 2) = 8，化简得 (2x + 1)(x - 8) = 0。取 x = 8，所以静水速度为 8 千米/时。

综合复习 · 20 道题

覆盖定义、配方、公式、因式分解、判别式、根与系数关系及实际应用。

题目 1

判断方程 5x² - 3x + 1 = 0 是否是一元二次方程，并写出 a、b、c。

答案

是。a = 5，b = -3，c = 1。

题目 2

将方程 (x + 2)(x - 3) = 4 化为标准形式。

答案

展开得 x² - x - 6 = 4，整理得 x² - x - 10 = 0。

题目 3

解方程 x² = 25。

答案

x = 5 或 x = -5。

题目 4

用配方法解方程 x² - 6x - 7 = 0。

答案

x² - 6x = 7，两边加 9 得 (x - 3)² = 16，所以 x = 7 或 x = -1。

题目 5

用配方法求 x² + 4x + 8 的最小值。

答案

x² + 4x + 8 = (x + 2)² + 4，最小值为 4，当 x = -2 时取得。

题目 6

用公式法解方程 2x² + x - 3 = 0。

答案

x = [-1 ± √25]/4，所以 x = 1 或 x = -3/2。

题目 7

用公式法判断 3x² - 2x + 4 = 0 是否有实数根。

答案

Δ = (-2)² - 4×3×4 = -44 < 0，所以没有实数根。

题目 8

用因式分解法解方程 x² + x - 12 = 0。

答案

(x + 4)(x - 3) = 0，所以 x = -4 或 x = 3。

题目 9

用因式分解法解方程 4x² - 12x + 9 = 0。

答案

(2x - 3)² = 0，所以 x = 3/2。

题目 10

求方程 3x² + 2x - 1 = 0 的判别式，并判断根的个数。

答案

Δ = 2² - 4×3×(-1) = 16 > 0，有两个不相等实数根。

题目 11

求 k 的取值范围，使 x² + kx + 9 = 0 没有实数根。

答案

Δ = k² - 36 < 0，所以 -6 < k < 6。

题目 12

若方程 x² - 4x + m = 0 有两个相等实数根，求 m。

答案

Δ = 16 - 4m = 0，所以 m = 4。

题目 13

方程 3x² - 7x + 2 = 0 的根为 α、β，求 α + β、αβ。

答案

α + β = 7/3，αβ = 2/3。

题目 14

方程 x² + 2x - 5 = 0 的根为 α、β，求 (α - β)²。

答案

α + β = -2，αβ = -5，所以 (α - β)² = (-2)² - 4×(-5) = 24。

题目 15

已知两个数的和为 7、积为 10，写出以它们为根的一元二次方程。

答案

x² - 7x + 10 = 0。

题目 16

若方程 x² - (k + 2)x + 2k = 0 的一个根为 2，求 k。

答案

代入得 4 - 2(k + 2) + 2k = 0，恒成立，所以任意 k 都使 x = 2 为根；另一个根为 k。

题目 17

一个正方形的边长增加 3 米后，面积增加 45 平方米，求原正方形边长。

答案

设原边长为 x，(x + 3)² - x² = 45，得 6x + 9 = 45，所以 x = 6 米。

题目 18

一个两位数，十位数字比个位数字大 2，且两位数字之积为 24，求这个两位数。

答案

设个位为 x，十位为 x + 2，则 x(x + 2) = 24，取个位 4、十位 6，两位数为 64。

题目 19

某商品原价 200 元，连续两次按同一折扣率打折后售价为 128 元，求每次的折扣率。

答案

设每次折扣率为 x，则 200(1 - x)² = 128。取 1 - x = 0.8，所以 x = 0.2，即每次打八折。

题目 20

甲、乙两地相距 120 千米，普通列车速度为 x 千米/时，高速列车速度比普通列车快 40 千米/时，高速列车比普通列车少用 1 小时，求普通列车速度。

答案

120/x - 120/(x + 40) = 1，化简得 (x + 80)(x - 60) = 0。取 x = 60 千米/时。